Теорія:

Sliedes-6.jpg
 
Визначення та доведення ознак паралельності прямих на площині.
Дві прямі лежать на одній площині або мають тільки одну спільну точку, або не мають жодної спільної точки.
У першому випадку говорять, що прямі перетинаються, у другому випадку та прямі не перетинаються.
 
 
Дві прямі \(a\) і \(b\) на площині, які не перетинаються, називаються  паралельними і позначаються ab.
Зверни увагу!
Якщо розглянути прямі, які не лежать в одній площині, то можлива ситуація, що прямі не перетинаються, але вони й не паралельні.Cube.png
 
Одна з ознак паралельності прямих на площині така:
1 Ознака. Якщо дві прямі на площині перпендикулярні однєї і тієї самої прямої, то вони паралельні.
Lenku_veidi_perp.png
Цю ознаку легко довести, якщо згадати, що до прямої на площині з будь-якої точки можна провести тільки один перпендикуляр.
 
Припустимо, що прямі, перпендикулярні до однєї й тієї самої прямої, не паралельні, тобто мають спільну точку.
 
Lenku_veidi_perp1.png
Виникає суперечність - з однієї точки \(Н\) до прямої \(с\) проведено два перпендикуляри. Таке неможливо, тому дві прямі на площині, перпендикулярні до однєї й тієї самої прямої, паралельні.
 
Щоб розглянути інші ознаки, треба ознайомиться з деякими видами кутів
1) Згадаймо, які нам відомі назви та властивості кутів, утворених двома прямими, що перетинаються:Lenku_veidi_teor2.png
 
Вертикальні кутирівні: 1=3;2=4;
Сума суміжнихкутів 1800:1+2=2+3=3+4=4+1=1800
 
2) Назви, та властивості кутів, утворених при перетині двох прямих третьою (січною):
Lenku_veidi_teor1.png
Внутрішні різносторонні кути 3 і5;2і8;
Відповідні кути 1і5;4і8;2і6;3і7;
Внутрішні односторонні кути 3і8;2і5.
Ці кути допоможуть визначити паралельність прямих \(а\) і \(b\). Отже друга ознака паралельності прямих на площині така:
 
2 Ознака. Якщо при перетині двох прямих третьою січною:
внутрішні різносторонні кути рівні, або
відповідні кути рівні, або
сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює \ (180 ° \), то прямі паралельні.
 
Lenku_veidi_paral1.png
 
Доведемо цю ознаку
 
Спочатку доведемо: якщо при перетині прямих \(a\) і \(b\) прямою \(c\) і внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі \(a\) і \(b\) параллельні.
 
Наприклад, якщо 3=5, тоab.
Lenku_veidi_paral11.png Lenku_veidi_paral11_atb.png
 
1) Відмітимо точки \(С\) і \(D\), у яких прямі \(a\) і \(b\) перетинає пряма \ (с \). Через серединну точку \(К\) цього відрізка проведемо перпендикуляр \(АВ\) до прямої \(a\).
2) CKA\(=\)DKB як вертикальні кути, 3\(=\)5\(=\)α, \(CK = KD\), отже ΔCKA\(=\)ΔDKB за ознакою про сторону та два кути.
3) Зрозуміло, якщо ΔCKA прямокутний, то і ΔDKB прямокутний, і \(АВ\) перпендикулярний і до прямої \(b\).
4) Відповідно до першї доведено ознаки, прямі, перпендикулярні до однєї й тієї самої прямої, паралельні.
5) У разі коли відповідні кути рівні, маємо на увазі, що вертикальні кути рівні, і доводимо як у пунктах 1 - 4.
Lenku_veidi_paral13.png Lenku_veidi_paral13_atb.png
 
6) У разі коли, сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, маємо на увазі, що сума суміжних кутів теж дорівнює \(180°\) і використовуємо в доказі пункти 1 - 4.
Lenku_veidi_paral12.png Lenku_veidi_paral12_atb.png
 
3. Ознака паралельних прямих діє і як властивість паралельних прямих.
При перетині двох паралельних прямих третьою січною:
- Внутрішні різносторонні кути рівні,
- Відповідні кути рівні,
- Сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює \(180°\).