Теорія:

У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут.
Lenki_malas1.png
 
Доведення.
 
Нехай у трикутнику \(ABC\) сторона \(AB\) більше сторони \(AC\).

Доведемо, що \(C >\)\(B\).
 
Відкладемо на стороні \(AB\) відрізок, рівний стороні \(AC\).
Оскільки \(AD <AB\), то точка \(D\) лежить між точками \(A\) і \(B\).
Отже, кут \(1\) є частиною кута \(C\) і, відповідно
\(C >\)\(1\).
 
Кут \(2\) — зовнішній кут трикутника \(BDC\), тому \(2 >\)\(B\).
\(1 =\)\(2\) як кути при основі рівнобедреного трикутника\(ADC\).
Таким чином, \(C >\)\(1 =\)\(2 >\)\(B\).              
 
Звідси випливає, що\(C >\)\(B\).
 
Справедлива і зворотна теорема.
У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона.
 
Слідство 1. Якщо два кути трикутника рівні, то трикутник рівнобедрений (ознака рівнобедреного трикутника).
 
Слідство 2.Якщо три кути трикутника рівні, то трикутник рівносторонній.
 
Слідство 3. У прямокутному трикутнику гіпотенуза більша від катета.
Нерівність трикутника
Кожна сторона трикутника менше суми двох інших сторін.
Lenki_malas2.png
 
Доведення.
 
Розглянемо трикутник\(ABC\) і доведемо, що \(AB < AC + BC\).
 
Продовжимо сторону \(AC\) й відкладемо відрізок \(CD = BC\).
Трикутник \(BCD\) — рівнобедрений, отже\(1 = \)\(2\).
У трикутнику \(ABD\) очевидно, що\(ABD >\)\(1\), що означає \(ABD >\)\(2\).
 
Оскільки проти більшого кута лежить більша сторона, \(AB < AD\), а \(AD =
AC + BC\), значить \(AB < AC + BC\).
 
Слідство 4. Для будь-якої з трьох точок\(A, B\) і \(C\), що не лежать на одній прямій, справедливі нерівності:
\(AB < AC + CB,  AC < AB + BC,  BC < AB + AC\).