Теорія:

Друга ознака рівності трикутників
Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні та двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Pazime2.png
MN=PRN=RM=P
Як і в доведенні першої ознаки, потрібно переконатися, чи достатньо цих даних для рівності трикутників? Чи можна їх накласти один на другий?

1. Оскільки MN=PR, то ці відрізки накладаються, якщо поєднати їх кінцеві точки.
2. Оскільки N=R іM=P, то промені \(MK\) і \(NK\) накладуться відповідно на промені \(PT\) і \(RT\).
3. Якщо збігаються промені, то збігаються точки їх перетину \(K\) і \(T\).
4. Поєднані всі вершини трикутників, тобто ΔMNK і ΔPRT повністю сполучаться, значить, вони рівні.
Третя ознака рівності трикутників
Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Pazime3.png
MN=PRKN=TRMK=PT
 
Знову спробуємо поєднати трикутники ΔMNK і ΔPRT накладанням і переконатися, що відповідна рівність сторін гарантує і рівність відповідних кутів цих трикутників, і вони повністю співпадуть.
Pazime3_pierad.png
Сумістимо, наприклад, однакові відрізки \(MK\) і \(PT\). Припустимо, що точки \(N\) і \(R\) при цьому не суміщуються.
 
Нехай \(O\) — середина відрізка \(NR\). Відповідно даній інформації,
MN=PR, KN=TR. Трикутники \(MNR\) і \(KNR\) рівнобедрені зі спільною основою \(NR\). Тому їх медіани \(MO\) і \(KO\) є висотами, значить, перпендикулярні до \(NR\). Прямі \(MO\) і \(KO\) не суміщуються точки \(M\), \(K\), \(O\) не лежать на одній прямій. Але через точку \(O\) до прямої \(NR\) можна провести тільки одну перпендикулярну їй пряму. Ми дістали суперечність.
Доведено, що повинні поєднатися і вершини \(N\) і \(R\).
  
Третя ознака дозволяє назвати трикутник дуже сильною, стійкою фігурою. Іноді говорять, що трикутник — жорстка фігура. Якщо довжини сторін не змінюються, то кути теж не змінюються. Наприклад, у чотирикутника такої властивості немає. Тому різні підтримки і зміцнення роблять трикутними.
 
T1.jpg  T2.jpg T3.jpg
 
Але своєрідну стійкість, стабільність і досконалість числа 3 люди оцінювали й виділяли давно.
 
Про це говорять казки, у яких є «три ведмеді», «три вітри», «троє поросят», «троє товарищів», «три брати», «три щасливці», «троє умільців», «три царевичи», «троє  друзів», «три богатирі» та ін.
 
Там даються «три спроби», «три ради», «три вказівки», «три зустрічі», виконуються «три бажання», потрібно потерпіти «три дні», «три ночі», «три роки», пройти через «три держави», «три підземних царства», витримати «три випробування», проплисти через «три моря».
 
 
T5.jpg 
І на закінчення ще раз згадаємо всі ознаки рівності трикутників
 
1. Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.
  
2. Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні та двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
  
3. Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.