Теорія:

Перпендикуляр від точки до прямої
Відрізок \(AC\) називається перпендикуляром, проведеним з точки \(А\) до прямої \(a\), якщо відрізок \(AC\) і пряма \(a\) перпендикулярні.
Perpendikuls2.png
Точка \(C\) називаєьтся основою перпендикуляра.
Від точки, що не лежить на прямій, можна провести перпендикуляр до цієї прямої, і притому тільки один.
Perpendikuls.png  Perpendikuls1.png
Доведемо, що від точки \(A\), що не лежить на прямій \(BC\) можна провести перпендикуляр до цієї прямої.
 
Припустимо, що дано кут ABC.
 
Відкладемо від променя \(BC\) кут, що дорівнює даному, і сумістимо ці кути накладанням (уявімо, що складаємо аркуш паперу з рівними кутами по стороні \(BC\)).
Сторона \(BA\) суміститься зі стороною BA1.
При цьому точка \(A\) накладеться на деяку точку A1.
Отже, поєднується кут ACB з кутом A1CB.
Але кутиACB іA1CB \( \)— суміжні, значить кожен з них прямий.
 
ПрямаAA1 перпендикулярна прямій \(BC\), а відрізок \(AC\) є препендікуляром від точки \(A\) до прямої \(BC\).
Якщо припустити, що через точку \(A\) можна провести ще один препендікуляр до прямої \(BC\), то він би перебував на прямій, що перетинається з AA1. Але мають бути дві перпендикулярні прямі, відкладені до однієї й тієї самої прямої паралельними і не можуть перетинатися.
Дістали суперечність, отже: через дану точку до прямої можна провести тільки один перпендикуляр.
Медіани, бісектриси і висоти трикутника
Медіана трикутника — це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.
Тому для побудови медіани необхідно виконати такі дії:
1) Знайти середину сторони;
2) З'єднати точку, яка є серединою сторони трикутника, з протилежним відрізком - це і буде медіана.
Mediana.png
У трикутника три сторони, отже, можна побудувати три медіани.
Усі медіани перетинаються в одній точці.
Mediana1.png
Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину з точкою на протилежній стороні.
Тому, для побудови бісектриси необхідно виконати такі дії:
1) Побудувати бісектрису кута трикутника (бісектриса кута — це промінь, що виходить з вершини кута й ділить його на дві рівні частини);
2) Знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною;
3) З'єднати вершину трикутника з точкою перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною — цей відрізок і буде бісектрисою трикутника.
Bisektrise.png
У трикутника три кути і три бісектриси.
Усі бісектриси перетинаються в одній точці.
Bisektrise1.png
Висота трикутника — це перпендикуляр, опущений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.
Тому для побудови висоти необхідно виконати такі дії:
1) Провести пряму, яка містить одну зі сторін трикутника (у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику);
2) З вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, опустити перпендикуляр до неї (перпендикуляр - це відрізок, проведений з точки до прямої, який утворює з нею кут 90°) — це і буде висота.
Augstums.png
Так само, як медіани і бісектриси, трикутник має три висоти.
Висоти трикутника перетинаються в одній точці.
Augstums1.png
Але, як згадано вище, для деяких видів трикутників побудова висот і точки їх перетину відрізняється.
Якщо трикутник з прямим кутом, то сторони, що утворюють прямий кут, можна назвати висотами, оскільки вони перпендикулярні одна до іншої. Точкою перетину висот є спільна вершина перпендикулярних сторін.
 
Augstums2.png
Якщо трикутник має тупий кут, то висоти, опущені з вершин гострих кутів, перебуватимуть за межами трикутника. Прямі, на яких розташовані висоти, перетинаються за трикутника.
Augstums3.png
 
Зверни увагу!
Якщо з однієї й тієї самої вершини провести медіану, бісектрису й висоту, то медіана виявиться найдовшим відрізком, а висота — найкоротшим відрізком.
Visi.png
Рівнобедрений трикутник
Якщо в трикутника дві сторони рівні, то такий трикутник називають рівнобедреним.
Рівні сторони називають бічними, а третю сторону — основою трикутника.
Trijst_vs.png
\(AB = BC\) — бічні сторони, \(AC\) — основа трикутника.
Якщо в трикутника всі три сторони рівні, то такий трикутник є рівностороннім.
Рівнобедрений трикутник має деякі властивості, яких не мають трикутники з різними сторонами.
1. У рівнобедренному трикутнику кути, прилеглі до основи, рівні.
2. У рівнобедренному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою.
3. У рівнобедренному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою.
4. У рівнобедренному трикутнику висота, проведена до основи, є бісектрисою і медіаною.
 
Першу й другу властивості можна довести, якщо доведемо рівність двох трикутників, які утворюються, коли з кута, протилежного до основи, провести бісектрису \(BD\).
Vs_trijst_ip.png
Розглянемо рівнобедрений трикутник \(ABC\) з основою \(AC\) і доведемо, щоΔABD=ΔCBD.
Нехай \(BD\) — бісектриса трикутника \(ABC\).  ΔABD=ΔCBD за першою ознакою рівності трикутників (\(AB = BC\) за умовою; \(BD\) — спільна сторона, ABD=CBD, оскільки \(BD\) — бісектрисою).
 
У рівних трикутників рівні всі відповідні елементи:
1. A=C — доведено, що прилеглі до основи кути рівні.
2. \(AD = DC\) — доведено, що бісектриса є медіаною.
3. ADB=CDB — оскільки суміжні кути, сума яких дорівнює 180°, рівні, то кожен з них дорівнює90°, тобто медіана є висотою.
 
Vs_trijst_ip1.png
Можна дуже легко самостійно довести третю і четверту властивості.