Теорія:

Коло, описане навколо трикутника
Окружність називають описаної навколо трикутника, якщо всі вершини трикутника розташовані на колі.
Її центр рівновіддалений від усіх вершин, тобто повинен знаходитися в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.
Отже, навколо будь-якого трикутника можна описати коло, так як серединні перпендикуляри до сторін перетинаються в одній точці.
 
Trijst_vidusp_01.png
 
Для гострокутного трикутника центр кола знаходиться в трикутнику.
 
Інша ситуація з прямокутним і тупокутним трикутниками.
 
Trijst_vidusp21.png              Trijst_vidusp11.png
Коло, вписане в трикутник
Окружність називають вписаною в трикутник, якщо всі сторони трикутника торкаються кола.
Її центр рівновіддалений від усіх сторін, тобто повинен знаходиться в точці перетину бісектрис трикутника.
 
Отже, в будь-який трикутник можна вписати коло, так як бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.
 
Trijst_bisektrises_01.png
 
Так як бісектриси кутів трикутника завжди перетинаються всередині трикутника, то для всіх трикутників центр вписаного кола знаходиться в трикутниках.
Формули
Рівносторонній трикутник
Зверни увагу!
У рівностороннього трикутника збігаються бісектриси, медіани і висоти, тобто, ці відрізки є також серединними перпендикулярами. Це означає, що центри описаного і вписаного кола збігаються.
Радіус описаного кола
 
R=23h, тому R=a33.
 
Радіус вписаного кола
 
r=13h, де \(h\) — висота трикутника.
Якщо дана сторона трикутника \(a\), то h=a32.
Тому r=a36
 
Прямокутний трикутник
 
Радіус описаного кола
 
R=12c, де \(c\) — гіпотенуза.
 
Радіус вписаного кола
 
r=SΔp, де \(p\) — напівпериметр.
 
Довільний трикутник
 
Радіус описаного кола
 
R=abc4SΔ
R=a2sinα, де α — кут, протилежний стороні \(a\).
 
якщоSΔ=abc4R,тоR=abc4SΔ;якщоSΔ=pr,тоr=SΔp
 
Радіус вписаного кола
 
r=SΔp, де \(p\) — напівпериметр.