Теорія:

Площа паралелограма
Необхідно визначити, що таке висота паралелограма.
 
Це перпендикуляр, проведений з будь-якої точки сторони паралелограма до прямої, що містить протилежну паралельну сторону. Зазвичай висоту проводять з вершини паралелограма. Так як паралелограм має дві пари паралельних сторін, то він має висоти двох різних довжин.
 
Висота \(BE\), проведена між довгими сторонами, коротше висоти \(BF\), проведеної між короткими сторонами.
 
Pgrama_augst.png
 
Так як сторони ромба однакові, то висоти ромба також однакові \(BE = BF\).
 
Romba_augst.png 
Площа довільного паралелограма
Площа паралелограма дорівнює добутку висоти і сторони, до якої проведена висота.
Pgrama_lauk1.png
 
Проведемо висоти з двох вершин \(B\) і \(C\) до сторони \(AD\) .
 
Прямокутні трикутники \(ABE\) і \(DCF\) рівні (рівні гіпотенузи як протилежні сторони паралелограма і рівні катети як відстань між паралельними прямими).
 
Паралелограм \(ABCD\) і прямокутник \(EBCF\) — рівновеликі, так як складаються з рівних фігур:
 
SABCD=SABE+SEBCDSEBCF=SEBCD+SDCF
 
Значить, площа паралелограма визначається так само, як площа прямокутника:
 
SEBCF=BEBCSABCD=BEBC=BCAD
 
Якщо позначити сторону через \(a\), висоту через \(h\), то:
 
Sпгр=ah
 
Для визначення площі паралелограма можна використовувати коротку сторону і висоту, проведену до короткої сторони.
Площа ромба
Діагоналі ромба в точці перетину діляться навпіл, вони перпендикулярні і ділять ромб на чотири рівних прямокутних трикутника.
 
Romba_lauk.png
 
SABCD=4SABO=4BOAO2=2BOAO
 
Формула визначення площі ромба:
 
Sромба=d1d22
 
Ця формула справедлива для визначення площі будь-якого чотирикутника, якщо його діагоналі перпендикулярні.
 
Так як діагоналі квадрата рівні, то для визначення площі квадрата у формулі достатньо довжини однієї діагоналі:
 
Sквадрата=d22
Площа довільного трикутника
Так як діагональ паралелограма ділить його на два рівних трикутника, то площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма.
 
Trijst_lauk1.png
 
 
Sтрик=aha2, де \(h\) — висота (на малюнку — \(BE\)), проведена до сторони \(a\) (на малюнку — \(AD\)).
 
Для визначення площі трикутника можна використовувати будь-яку сторону і висоту, проведену до цієї сторони.
 
Зручно іноді використовувати формулу Герона, якщо відомі довжини всіх трьох сторін трикутника.
 
SΔ=ppapbpcp=a+b+c2
 
— формула Герона, де \(a, b\) і \(c\) — сторони трикутника, \(p\) — напівпериметр трикутника.
Площа прямокутного трикутника
Так як катети прямокутного трикутника взаємно перпендикулярні, то один катет може бути висотою, а інший катет — стороною, до якої проведена висота. Отримуємо формулу:
 
S=ab2, де \(a\) і \(b\) — катети.
 
Для прямокутного трикутника також можна застосовувати формули площі довільного трикутника.
Приклад:
1. Обчислимо площу трикутника зі сторонами \(17\) см, \(39\) см, \(44\) см.
 
Розв'язання:
 
p=17+39+442=50SΔ=50501750395044=5033116==2523111123=52311=330см2
 
Щоб легше було вирахувати корінь, необхідно не перемножати всі числа, а розкладати їх на множники: aa=a
Формулу Герона можна використовувати для обчислення висоти трикутника.
Приклад:
2. Обчислимо меншу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють \(15\) см, \(13\) см, \(4\) см.
 
Розв'язання:
Використовуємо дві формули обчислення площі:  SΔ=aha2 і SΔ=ppapbpc
 
Менша висота у трикутнику та, яка проведена до більшої сторони, тому \(a =\)\(15\) см.
 
SΔ=ppapbpc=161312=24см2

Складаємо рівняння:
                        
15h2=24215h=48h=4815=3,2(см)
Іноді формула Герона використовується для обчислення площі паралелограма, якщо дано сторони паралелограма і його діагональ.
Приклад:
3. Дано паралелограм зі сторонами \(17\) см і \(39\) см, довжина діагоналі дорівнює \(44\) см. Обчислимо площу паралелограма.  
 
Розв'язання:
 
Діагональ ділить паралелограм на два рівних трикутника. Використовуємо результат, отриманий у першому прикладі:
 
Sпаралелограма=2SΔ=2330=660(см2)
Площа трапеції
Трапеція має одну пару паралельних сторін, отже, має одну висоту — перпендикуляр, проведений між паралельними сторонами.
 
Найчастіше висоту трапеції проводять з вершин або через точку перетину діагоналей.
 
Trapeces_augst.png
 
Площу трапеції визначимо як суму площ трикутників, на які трапецію ділить діагональ.
 
Trapeces_lauk.png
 
SABCD=SABD+SDBCSABCD=ADBE2+BCDF2=ADBE2+BCBE2==AD+BCBE2
 
Якщо позначити паралельні сторони (основи) трапеції через \(a\) і \(b\), висоту через \(h\), то:
 
Sтрап=a+b2h
Зверни увагу!
Важливі наслідки:
 
1. Якщо висоти трикутників рівні, то їх площі відносяться як довжини основ.
 
2. Якщо основи трикутників рівні, то їх площі відносяться як довжини висот.
 
3. Якщо висоти трикутників рівні і їх основи рівні, то вони рівновеликі, наприклад, медіана ділить трикутник на дві рівновеликі частини.