Теорія:

Pitagors1.gif 
 
Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах.
 
Одна з найвідоміших геометричних теорем — теорема Піфагора, знаменитого давньогрецького філософа і математика.
В історії математики знаходимо твердження, що цю теорему знали за багато років до Піфагора, наприклад, стародавні єгиптяни знали про те, що трикутник зі сторонами \(3\), \(4\) і \(5\) є прямокутним.
 
У наш час теорема звучить так (маючи на увазі не тільки площі, але і довжини сторін прямокутного трикутника):
 
Taisnl2.png
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів c2=a2+b2.
Відомо дуже багато доведень теореми з різними математичними методами, але одні з найбільш наочних пов'язані з площами.
 
1. Побудуємо квадрат, сторона якого дорівнює сумі катетів даного трикутника a+b.  Площа квадрата дорівнює a+b2:
 
Taisnl3.png
 
2. Якщо провести гіпотенузи \(c\), очевидно, що вони утворили квадрат всередині побудованого квадрата.
Сторони чотирикутника дорівнюють \(c\), а кути — прямі, так як гострі кути прямокутного трикутника в сумі дають 90°, то кут чотирикутника також дорівнює 90°, тому що разом всі три кута дають 180°.
Отже, площа квадрата складається з чотирьох площ рівних прямокутних трикутників і площі квадрата, утвореного гіпотенузами:
 
Taisnl4.png
 
3. На двох сторонах квадрата змінимо місцями відрізки \(a\) і \(b\), при цьому довжина сторони квадрата не змінюється.
Тепер площу квадрата можемо скласти з двох площ квадратів, утворених катетами \(a\) і \(b\) і двох площ прямокутників:
 
Taisnl5.png
 
4. З цього випливають висновки:
 
4ab2=2ab і c2=a2+b2, що і є одним із доведень теореми Піфагора.
Зверни увагу!
Якщо знаходимо довжину гіпотенузи \(c\), то виконуємо додавання квадратів довжин катетів \(a\) і \(b\) і визначаємо квадратний корінь:
 
c2=a2+b2c=a2+b2
  
Якщо знаходимо довжину одного катета, то виконуємо віднімання довжини квадрата іншого катета з квадрата довжини гіпотенузи і визначаємо квадратний корінь:
 
a2=c2b2a=c2b2
Зворотна теорема використовується як ознака прямокутного трикутника.
Якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник є прямокутним.
Приклад:
Чи є трикутник зі сторонами \(6\) см, \(7\) см і \(9\) см прямокутним?
Обираємо більшу сторону і перевіряємо, чи виконується теорема Піфагора:
 
92=62+72;8136+49, значить, цей трикутник не прямокутний.
  
Чи є трикутник зі сторонами \(5\) см, \(12\) см і \(13\) см прямокутним?
Обираємо більшу сторону і перевіряємо, чи виконується теорема Піфагора:
 
132=122+52;169=144+25, значить, цей трикутник прямокутний.
Щоб не витрачати багато часу на розв'язання, корисно запам'ятати найбільш використовувані числа Піфагора:
катет, катет, гіпотенуза
 
3;  4;  5          
6;  8;  10            
12;   16;  20          
5;  12;  13.
  
Подивися ще одне своєрідне доведення теореми Піфагора:
 
Pitagora_3.gif
Джерела:
http://linguaggio-macchina.blogspot.com