Теорія:

Подібність
Matrjoska1.jpg
 
 
Подібними фігурами можуть бути не тільки трикутники. Якщо змінити (збільшити або зменшити) всі розміри будь-якої плоскої фігури в одне і те ж число разів (відношення подібності), то стара і нова фігури називаються подібними за умови, що в двох подібних фігурах будь-які відповідні кути рівні.

Також два тіла можуть бути подібні, якщо одне з них може бути отримане з іншого шляхом збільшення (або зменшення) всіх його лінійних розмірів в одному і тому ж відношенні.
 
Наприклад, картина і її фотографія — це подібні фігури. Карти однієї і тієї ж території, зроблені в різних маштабах, подібні.
 
Автомобіль і його модель — подібні тіла, також будь-який макет подібний оригіналу, якщо його зроблено дотримуючись маштабу до всіх розмірів.
 
З геометричних фігур завжди подібні:
всі квадрати,
всі рівносторонні трикутники,
всі кола,
всі окружності.
 
У завданнях шкільного курсу геометрії все-таки частіше будуть використані подібні трикутники. Далі розглянемо, як у різних ситуаціях утворюються подібні трикутники або як їх використовувати для вирішення проблем.
Середня лінія трикутника
Відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, називається середньою лінією цього трикутника.
Середня лінія трикутника паралельна одній з його сторін і дорівнює половині цієї сторони.
Vidusl.png
 
EFACEF=AC2
 
У кожному трикутнику три середніх лінії.
 
Vidusl2.png
 
Середні лінії \(DE\), \(EF\), \(DF\).
Зверни увагу!
Даний трикутник \(ABC\) і трикутник \(FDE\), утворений середніми лініями, подібні за ознакою подібності за трьома пропорційними сторонами.
Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику
Taisnl_prop.png
 
Якщо в прямокутному трикутнику провести висоту до гіпотенузи, отримуємо три пари прямокутних трикутників за ознакою подібності про рівні кути, так як BAC+ACB=90° і CBD+DBA=90°, отже, BAC=CBD,ACB=DBA.
 
ΔABCΔADB,ΔABCΔBDC,ΔADBΔBDC
 
ABAD=ACAB=BCDBABBD=ACBC=BCDCADBD=ABBC=DBDC                                                    
 
ABAD=ACABAB2=ACADAB=ACADACBC=BCDCBC2=ACDCBC=ACDCADBD=DBDC=BD2=ADDCBD=ADDC
 
Практичні додатки подібності трикутників
1. Визначення висоти важко вимірюваного предмета.
 
Lidziba_daba2.png
 
За допомогою жердини \(AC\) з планкою що обертається, яка направляється до верхньої недоступної точки A1, розглядаються подібні трикутники \(ABC\) і A1BC1.
 
2. Визначення відстані до недоступної точки.
 
Lidziba_daba1.png
 
Вимірюється відрізок \(AC\), за допомогою необхідних інструментів вимірюються кути \(A\) і \(C\), будується подібний трикутник A1B1C1, в якому проводяться подальші вимірювання.