Теорія:

Згадаймо, що при множенні вектора на число k0 ми отримуємо два колінеарних (паралельних) вектори, які або співнапрямлені, якщоk>0, або протилежно напрямлені, якщо k<0. Довжини векторів відрізняються у \(k\) разів.
Reiz1.png
Справедливе і зворотне судження.
Якщо ненульові вектори колінеарні, то обов'язково можна знайти число k0 так, що b=ka.
Для неколінеарних векторів справедливе судження, що кожен вектор на площині можна представити у вигляді c=ka+mb. Кажуть, що вектор c розкладений за векторами a і b, а числа \(k\) і \(m\) називають коефіцієнт розкладання.
Це справедливо для будь-якого вектора на площині, причому коефіцієнти визначаються єдиним чином.
Izteikšana1.png
Оберемо два не колінеарних вектора на вісях системи координат. Нехай довжина кожного з них буде дорівнювати одиничному відрізку в цій системі координат. Ці вектори називають координатними векторами і позначають i і j.
 
Koord_vektori_teor.png
 
Якщо від початку координат відкласти вектор a, то його можна розкласти за векторами i і j наступним чином a=3i+2j.
У цьому розкладанні коефіцієнти координатних векторів називають координатами вектора a.
Це записують як a3;2.
 
Будь-який вектор, який дорівнює вектору a можна перемістити і відкласти від початку координат. Отже, можемо зробити висновок.
Рівні вектори мають рівні координати.
Але в той же час в координатній системі можна перемістити вектори i і j, таким чином визначити координати векторів незалежно від їх місця розташування в координатній системі.
 
Легко зрозуміти, що різниця між абсциссами (координатами x) кінцевої і початкової точки вектора і є абсциса вектора, а різниця між ординатами (координатами y) кінцевої і початкової точки вектора є ордината вектора.
 
Зв'язок між координатами протилежних векторів випливає з того, що, якщо помножити вектор на \(-1\), результатом буде протилежний вектор.
У протилежних векторів протилежні координати.
Важливо зрозуміти ще кілька цікавих зв'язків між координатами векторів однакової довжини.
 
Vektori_teor_preteji.png