Теорія:

3D.jpg
 
Частина геометрії, досліджувана досі, називається планіметрією — ця частина була про властивості плоских геометричних фігур, тобто фігур, цілком розташованих в деякій площині. Але оточуючі нас предмети в більшості не є плоскими. Будь-який реальний предмет займає якусь частину простору.

Розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур у просторі, називається стереометрією.
Це слово \(στερεομετρία\) походить від давньогрецьких слів «stereos» — об'ємний, просторовий і «metria» — вимір.
Найпростіші фігури стереометрії — точки, прямі і площини. З цих фігур утворені геометричні тіла і їх поверхні
Якщо поверхні геометричних тіл складені з багатокутників, то такі тіла називаються багатогранниками.
Багатокутники, з яких складений багатогранник, називаються його гранями. При цьому передбачається, що ніякі дві сусідні грані багатогранника не лежать в одній площині
 
Сторони граней називаються ребрами, а кінці ребер — вершинами багатогранника.
 
Відрізок, що сполучає дві вершини, які не належать одній грані, називається діагоналлю багатогранника.
 
Багатогранники бувають опуклими і неопуклими.
 
Oktaedrs.png

Опуклий багатогранник характеризується тим, що він розташований з одного боку від площини кожної своєї межі. На малюнку опуклий багатогранник — октаедр. У октаедра вісім граней, всі грані — правильні трикутники.

Ieliekts.png
 
На малюнку — неопуклий (увігнутий) багатокутник. Якщо розглянути, наприклад, площину трикутника \(EDC\), то, зрозуміло, частина багатокутника знаходиться з одного боку, а частина з іншого боку цієї площини.
 
Для подальших визначень введемо поняття паралельних площин і паралельних прямих в просторі і перпендикулярності прямої і площини.
Дві площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.
 
Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.
 
Пряму називають перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої в цій площині.
Призма
Тепер можемо ввести визначення призми.
\(n\)-кутною призмою називають багатогранник, складений із двох рівних \(n\)-кутників, що лежать в паралельних площинах, і \(n\)-паралелограмів, які утворилися при з'єднанні вершин \(n\)-кутників відрізками паралельних прямих.
 
Рівні \(n\)-кутники називають основами призми.
 
Сторони багатокутників називають ребрами основ.
 
Паралелограми називають бічними гранями призми.
 
Паралельні відрізки називають бічними ребрами призми.
 
Призми бувають прямими і похилими.
 
Якщо основи прямої призми — правильні багатокутники, то таку призму називають правильною.
 
У прямих призм всі бічні грані — прямокутники. Бічні ребра прямої призми перпендикулярні до площин її основ.
 
Якщо з будь-якої точки однієї основи провести перпендикуляр до іншої основи призми, то цей перпендикуляр називають висотою призми.
 
Psk_slips.png
 
На малюнку похила чотирикутна призма, в якій проведена висота B1E.
У прямій призмі кожне з бічних ребер є висотою призми.
 
Trijst_pr.png
 
На малюнку пряма трикутна призма. Всі бічні грані — прямокутники, будь-яке бічне ребро можна називати висотою призми. У трикутної призми немає діагоналей, так як всі вершини з'єднані ребрами.

Reg_cetrst_pr.png
 
На малюнку — правильна чотирикутна призма. Основи призми — квадрати. Всі діагоналі правильної чотирикутної призми рівні, перетинаються в одній точці і діляться в цій точці навпіл.
Чотирикутна призма, основи якої — паралелограми, називається паралелепіпедом.
Вище згадану правильну чотирикутну призму можна також називати прямим паралелепіпедом.
 
Якщо основи прямого паралелепіпеда — прямокутники, то цей паралелепіпед — прямокутний.
  
Psk_taisns_dim_diag.png
 
На малюнку — прямокутний паралелепіпед. Довжини трьох ребер із загальною вершиною називають вимірами прямокутного паралелепіпеда.
 
Наприклад, AB, AD і AA1 можна називати вимірами.
 
Так як трикутники ABC і ACC1 — прямокутні, то, отже, квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірів:
AC12=AB2+AD2+AA12
  
Якщо через відповідні діагоналі основ провести переріз то його називають діагональним перерізом призми.
У прямих призмах діагональні перерізи є прямокутниками. Через рівні діагоналі проходять рівні діагональні перерізи.
 
Reg_sest_pr.png
 
На малюнку — правильна шестикутна призма, в якій проведені два різні діагональних перерізи, які проходять через діагоналі з різними довжинами.
Основні формули для розрахунків у прямих призмах
1. Бічна поверхня Sбіч.=Pосн.H, де \(H\) — висота призми. Для похилих призм площа кожної бічної грані визначається окремо.
 
2. Повна поверхня Sповн.=2Sосн.+Sбіч.. Ця формула справедлива для всіх призм, не тільки для прямих.
 
3. Об`єм V=Sосн.H. Ця формула справедлива для всіх призм, не тільки для прямих.
Піраміда
\(n\)-кутна піраміда — багатогранник, складений з \(n\)-кутника в основі і \(n\)-трикутників, які утворилися при з'єднанні точки вершини піраміди з усіма вершинами багатокутника основи.
\(n\)-кутник називають основою піраміди.
Трикутники — бічні грані піраміди.
Загальна вершина трикутників — вершина піраміди.
Ребра, що виходять з вершини — бічні ребра піраміди.
Перпендикуляр від вершини піраміди до площини основи називають висотою піраміди.
 
Visp_piram.png
 
На малюнку шестикутна піраміда \(GABCDEF\), проведена висота піраміди \(GH\).
 
Піраміду, в основі якої правильний багатокутник і висота з'єднує вершину піраміди з центром правильного багатокутника, називають правильною.
 
У правильної піраміди всі бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники. Якщо провести висоти цих трикутників, то вони також будуть рівні.
 
Висоту бічної грані правильної піраміди називають апофемою.
 
Reg_cetrst_piram.png
 
На малюнку правильна чотирикутна піраміда. Висота піраміди \(KO\) проведена від вершини \(K\) до центру основи \(O\).
 
Висота бічної грані \(KN\) — апофема.
 
Якщо у правильної трикутної піраміди всі бічні грані — рівносторонні трикутники (рівні з основою), то таку піраміду називають правильним тетраедром:
ΔABC=ΔABD=ΔACD=ΔBCDп
 
Tetraedrs.png
 
Якщо у багатокутника в основі є діагоналі, то через ці діагоналі і вершину піраміди можна провести діагональний переріз.
 
Reg_cetrst_piram11.png
 
На малюнку проведено діагональний переріз правильної чотирикутної піраміди.
Основні формули для розрахунків у правильних пірамідах
1. Бічна поверхня Sбіч.=Pосн.h2, де \(h\) — апофема. Для пірамід, які не є правильними, необхідно визначити окремо поверхню кожної бічної грані.
 
2. Повна поверхня Sповн.=Sосн.+Sбіч.. Ця формула справедлива для всіх пірамід, не тільки для правильних.
 
3. Об'єм V=13Sосн.H, де \(H\) — висота піраміди. Ця формула справедлива для всіх пірамід, не тільки для правильних.