Теорія:

Тела-вращения.jpg
Циліндр
Циліндр можна отримати обертанням прямокутника AA1O1O навколо однієї з його сторін OO1 або прямокутника AA1B1B навколо прямої OO1, яка проходить через серединні точки протилежних сторін.
 
Cilindrs_ax1.png
 
Пряма OO1 називається віссю циліндра, AA1 і BB1 — твірними.
 
Висота \(H\) циліндра збігається з будь-яким із відрізків OO1\(=\)AA1\(=\)BB1.
 
Два кола, які утворилися при обертанні, називають основами циліндра.
 
Радіусом \(R\)\(=\)\(OA\)\(=\)\(OB\) циліндра називається радіус його основи.

Осьовим перерізом циліндра називається перетин циліндра площиною, що проходить через його вісь. Осьовим перерізом циліндра (прямого кругового циліндра) є прямокутник, на даному малюнку — прямокутник AA1B1B.

Розгортка бічної поверхні циліндра теж прямокутник:

Sanu_vsma1.png
 
Бічна поверхня прямого кругового циліндра дорівнює добутку довжини кола основи на висоту:
Sбіч.=2πRH
 
Повна поверхня циліндра обчислюється за формулою:
S=Sбіч.+2Sосн.=2πRH+2πR2
 
Для об'єму прямого кругового циліндра вірно:
V=πR2H
Конус
Конус можна отримати обертанням прямокутного трикутника \(POA\) навколо одного з його катетів \(PO\) або рівнобедреного трикутника \(APB\) навколо прямої \(PO\), що проходить через вершину \(P\) і середину \(O\) основи трикутника.
 
Konuss.png
 
Віссю прямого кругового конуса називається пряма \(PO\), що містить його висоту \(H\).
 
Осьовий переріз конуса, що проходить через його вершину, являє собою рівнобедрений трикутник, у якого бічні сторони \(PA\) і \(PB\) є твірними \(l\) конуса.
 
Радіус конуса \(R\) \(=\) \(OA\) \(=\) \(OB\) — це радіус основи.
 
Розгортка бічної поверхні конуса являє собою круговий сектор:
 
Sanu_vsma11.png
 
Радіус цього сектора дорівнює твірній конуса, тобто дорівнює \(l\), а довжина дуги сектора дорівнює довжині кола основи конуса, тобто дорівнює \(2πr\).
 
Площа бічної поверхні конуса визначається як площа даного кругового сектора:
Sбіч.=πl2α°360°
 
Якщо розглянути довжину кола основи конуса як довжину дуги кругового сектора, отримуємо:
2πR=2πlα°360°2πR=πlα°180°α°=2πR180°πl=R360°lSбіч.=πl2α°360°=πl2R360°360°l=πRl
 
Sбіч.=πRl — ще одна формула для визначення бічної поверхні конуса.
 
Повна поверхня конуса:
S=Sбіч.+Sосн.=πRl+πR2
 
Об'єм конуса знаходимо за формулою:
V=13πR2H
Куля та поверхня кулі — сфера
Сфера виходить при обертанні півкола або кола навколо його діаметра \(AB\) як осі.

Lode1.png
 
Границя кулі називається кульовою поверхнею або сферою.
 
Таким чином, точками сфери є всі точки кулі, які віддалені від центру \(O\) на відстань, рівну радіусу \(R\).
  
Будь-який відрізок, як \(OA\), \(OB\) і \(OC\) або інші, що з'єднують центр кулі з точкою кульової поверхні, також називається радіусом.
 
Відрізок, що сполучає дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром, як \(AB\) на малюнку. Кінці будь-якого діаметру називаються діаметрально протилежними точками кулі.

Переріз кулі площиною, що проходить через його центр, називається великим колом, а переріз сфери — великою окружністю.
Поверхня сфери:
S=4πR2
 
Об'єм кулі:
V=43πR3