Теорія:

Правильними називають багатокутники, у яких рівні всі сторони і всі кути.
На малюнку видно деякі правильні багатокутники: трикутник, чотирикутник (квадрат), п'ятикутник і шестикутник.
 
Regnst.png
 
Якщо в правильних опуклих багатокутниках провести діагоналі, то утворюються правильні увігнуті багатокутники:
з діагоналей п'ятикутника виходить пентаграма, з діагоналей шестикутника гексаграма, а з діагоналей семикутника навіть дві різні гептаграми:
 
Regnst_d.png
 
Якщо провести всі діагоналі з однієї вершини, будь-який \(n\)-кутник можна розділити в \(n-2\) трикутника, таким чином сума всіх внутрішніх кутів визначається за формулою 180°n2.
 
R_dz1.png
Так як всі кути правильного \(n\)-кутника рівні, то величина одного внутрішнього кута дорівнює 180°n2n.
Біля будь-якого правильного багатокутника можна описати і вписати в нього коло, при цьому збігаються центри обох кіл, і цю точку називають центром багатокутника.
 
Вписана окружність стосується всіх сторін, описана окружність проходить через всі вершини.
 
Rl.png
 
AOH=360°n;AOK=360°2n=180°n
 
У трикутнику \(AOK\) пов'язані сторона \(a\) (половина сторони \(AK\)), радіус описаного кола \(OA = R\) і радіус вписаного кола \(OK = r\).
 
a2=Rsin180°n;a=2Rsin180°n;R=a2sin180°na2=rtg180°n;a=2rtg180°n;r=a2tg180°nr=Rcos180°n;R=rcos180°n
 
Так як \(n\)-кутник складається з \(n\) трикутників рівних \(AOH\), то
 
Snуг.=nSAOK=nAHr2=pr2
 
Для правильного трикутника і квадрата додатково в силі всі формули, які були розглянуті в курсі геометрії.