Теорія:

В системі координат побудуємо півколо радіусом \(1\) з центром у початку координат.
 
Vienibas_pusr.png
 
Як вже відомо, в прямокутному трикутнику синус гострого кута визначається як відношення протилеглого катета до гіпотенузи, а косинус гострого кута визначається як відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
 
У трикутнику \(AOX\):
sinα=AXAO;cosα=OXAO
Так як радіус півкола \(R = AO = 1\), то sinα=AX;cosα=OX.
Довжина відрізка \(AX\) дорівнює величині координати \(y\) точки \(A\), а довжина відрізка \(OX\) дорівнює величині координати \(x\) точки \(A\):
 Acosα;sinα.
Отже, для кутів 0°α180° видно, що 1cosα1;0sinα1.
 
У прямокутному трикутнику тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилеглого катета до прилеглого катета, а, значить,  
tgα=AXOX=sinαcosα
Використовуючи одиничне півколо і розглянуту інформацію, визначимо синус, косинус і тангенс для 0°;90°;180°.
 
sin0°=0;cos0°=1;tg0°=0sin90°=1;cos90°=0;tg90° не існуєsin180°=0;cos180°=1;tg180°=0
 
Розглянемо обидва гострих кути в трикутнику \ (AOX \). Якщо разом вони утворюють 90°, то обидва виразимо через α:
 
Vienibas_pusr2.png
 
Якщо sinα=AXAO;cosα=OXAO, то sin90°α=OXAO;cos90°α=AXAO.
 
Бачимо, що справедливі рівності:
cos90°α=sinαsin90°α=cosα
 
Розглянемо тупий кут, який також виразимо через α:
 
Vienibas_pusr1.png
 
Справедливі наступні рівності:
sin180°α=sinαcos180°α=cosα
Ці формули називаються формулами зведення:
 
cos90°α=sinαsin90°α=cosα
 
sin180°α=sinαcos180°α=cosα
Якщо в трикутнику \(AOX\) застосувати теорему Піфагора, отримуємо AX2+OX2=1. Замінивши відрізки відповідно синусом і косинусом, ми напишемо 
Головну тригонометричну тотожність
sin2α+cos2α=1
Ця тотожність дозволяє обчислити величину синуса кута, якщо дано косинус
(як уже зазначено, синус для кутів 0°α180° тільки 0 або додатний):
 
sin2α+cos2α=1sin2α=1cos2αsinα=1cos2α 
 
або величину косинуса кута, якщо дано синус:
 
sin2α+cos2α=1cos2α=1sin2αcosα=±1sin2α
 
Для гострих кутів косинус додатний, а для тупих кутів беремо від'ємне значення.