Теорія:

Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина (число), що дорівнює добутку модулів цих векторів, помножене на косинус кута між ними:

ab=abcosα

Sk_reiz_garums.png
 
Дуже важливо правильно визначити кут між векторами. Якщо вектори не мають загальної початкової точки, необхідно уявити, який кут утворився би, якщо їх перемістити до загальної початкової точки.
 
Кут між векторами позначають abˆ=α.
 
1. Якщо вектори співнапрямлені, то abˆ=0°:
 
Lenkis_vekt1.png
Зверни увагу!
Так як косинус кута в \(0\) градусів дорівнює \(1\), то скалярний добуток співнапрямлених векторів є добутком їх довжин.
Якщо два вектори рівні, то такий скалярний добуток називають скалярним квадратом.
2. Якщо вектори протилежно напрямлені, то abˆ=180°:
 
Lenkis_vekt3.png
Зверни увагу!
Так як косинус кута в \(180\) градусів дорівнює \(-1\), то скалярний добуток протилежно напрямлених векторів дорівнює негативному добутку їх довжин.
3. Вектори називають перпендикулярними, якщо abˆ=90°:
 
Lenkis_vekt2.png
Зверни увагу!
Так як косинус прямого кута дорівнює \(0\), то скалярний добуток перпендикулярних векторів дорівнює \(0\).
4. Уважно необхідно розглянути ситуації, коли вектори утворюють тупий кут:
 
Lenkis_vekt5.png  Lenkis_vekt6.png
Зверни увагу!
Так як косинус тупого кута від'ємний, то скалярний добуток таких векторів, які утворюють тупий кут, є від'ємним.
Скалярний добуток векторів, заданих координатами
Якщо axa;ya і bxb;yb, то ab=xaxb+yayb.
 
Так як у координатах a=xa2+ya2 і b=xb2+yb2, то можна визначити косинус кута між векторами і, отже, величину кута.
 
cosα=ababcosα=xaxb+yaybxa2+ya2xb2+yb2
Властивості скалярного добутку векторів
1. Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більше або дорівнює нулю. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору.
 
aa>0;00=0

2. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:

aa=a2
 
3. Для скалярного добутку в силі перемісний закон:

ab=ba
 
4. Для скалярного добутку в силі розподільний закон:
 
a+bc=ac+bc
 
5.  Для скалярного добутку в силі сполучний закон:
 
kab=kab
 
6. Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори перпендикулярні.