Теорія:

Симетрія — слово грецького походження, як і багато інших слова, які пов'язані з математикою. Воно означає співрозмірність, наявність певного порядку, закономірності в розташуванні частин. Дивлячись на об'єкти навколо, ми не раз вигукуємо: «Яка симетрія!»

Aksiala9.jpg 

Люди з давніх часів використовували симетрію в малюнках, орнаментах, предметах побуту, в архітектурі, мистецтві, будівництві.
 
Але симетрія широко поширена в природі, де не було втручання людської руки. Її можна спостерігати у формі листя і квітів рослин, у розташуванні різних органів тварин, у формі кристалічних тіл, яка пурхає метелик, загадкової сніжинці, морської зірки.

111.jpg
 
Поки розглянемо дві симетрії на площині: відносно точки і прямої.
Центральна  симетрія
Симетрію відносно точки називають центральною симетрією.
Точки M і M1 симметричні відносно деякою точки  \(O\), якщо точка \(O\) є серединою відрізка MM1.
Simetrija_c_punkti.png
Точка \(O\) називається центром симетрії.
 
Simetrija_c.png
Побудуємо трикутник A1B1C1, симетричний трикутник \(ABC\), відносно центру (точки) \(O\):
 
1. Для цього з'єднаємо точки \(A\), \(B\)\(C\) з центром \(O\) і продовжимо ці відрізки;
2. Виміряємо відрізки \(AO\), \(BO\)\(CO\)і відкладемо з іншої сторони від точки \(O\), рівні їм відрізки AO=OA1;BO=OB1;CO=OC1;
3. З'єднаємо отримані точки відрізками і отримаємо трикутник A1B1C1, симетричний даному трикутнику \(ABC\).
Фігури, симетричні відносно деякої точки, рівні.

Фігура симетрична відносно центру симетрії, якщо для кожної цієї точки фігури симетрична їй точка лежить на цій фігурі. Така фігура, що має центр симетрії (фігура з центральною симетрією).
Є фігури з центральною симетрією це, наприклад, окружність і паралелограм. У окружності центр симетрії — це її центр, у паралелограма центр симетрії — це точка, в якій перетинаються його діагоналі. Є дуже багато фігур, які не мають центру симетрії.
Осьова симетрія
Остова симетрія це симетрія відносно проведеної прямої (осі).
Точки M і M1 симетричні відносно деякої прямої (осі симетрії), якщо ці точки лежать на прямій, перпендикулярній даної, і на однаковій відстані від осі симетрії.
Simetrija_ass_punkti.png

 
Алгоритм побудови фігури, симетричною відносно деякої прямої.

Simetrija_ass.png
 
Побудуємо трикутник A1B1C1, симетричний трикутник \(ABC\) щодо червоної прямої:
 
 
1. Для цього проведемо з вершин трикутника \(ABC\) прямі, перпендикулярні осі симетрії і продовжимо їх далі на іншій стороні осі.
2. Виміряємо відстані від вершин трикутника до отриманих точок на прямій і відкладемо з іншого боку прямої такі ж відстані.
3. З'єднаємо отримані точки відрізками і отримаємо трикутник A1B1C1, симетричний даного трикутника \(ABC.\)
 
Фігури, симетричні відносно прямої, рівні.
 
Фігура вважається симетричною відносно прямої, якщо для кожної точки даної фігури, симетрична для неї точка відносно даної прямої також знаходиться на цій фігурі. Пряма є в цьому випадку віссю симетрії фігури.
Іноді у фігур кілька осей симетрії:
  • Для неразвернутого кута існує єдина вісь симетрії — це бісектриса цього кута.
  • Для рівнобедреного трикутника є єдина вісь симетрії.
  • Для рівностороннього трикутника — три осі.
  • Для прямокутника і ромба існують дві осі симетрії.
  • Для квадрата — цілих чотири.
  • Для кола осей симетрії незліченна безліч — це кожна пряма, яка проходить через центр цієї фігури.
  • Є постаті без осей симетрії — це паралелограм і трикутник, усі сторони якого різні.