Теорія:

Розв'яжемо таку задачу.
Приклад:
Розділимо \(738\) цукерок порівну на \(9\) осіб, не виконуючи обчислень, а лише застосовуючи ознаки подільності суми та добутку.
У числі \(738\) міститься \(7\) сотень, \(3\) десятки і \(8\) одиниць.
 
Якщо ділити порівну на \(9\) осіб одну сотню цукерок, то кожен отримає по \(11\) цукерок і \(1\) цукерка залишиться. А від семи сотень залишиться \(7\) цукерок.
Якщо ділити порівну на \(9\) осіб один десяток цукерок, то кожен отримає по \(1\) цукерці і \(1\) цукерка залишиться. А від трьох десятків залишиться \(3\) цукерки.
 
Нерозділеними залишаться \(7\) цукерок від сотень, \(3\) цукерки від десятків і ще \(8\) цукерок. Всього нерозділеними залишилися \(7 + 3 + 8 = 18\) цукерок, які діляться порівну на \(9\) осіб.
Ще по \(2\) цукерки кожному.
 
Значить, число \(738\) ділиться без залишку на \(9\), а \(7 + 3 + 8\) — це сума цифр цього числа.
 
Ознака подільності на \(9\) звучить так:
натуральне число ділиться на \(9\) тоді і тільки тоді, коли ділиться на \(9\) сума його цифр.
Приклад:
Число \(747\) ділиться на \(9\), т. я. сума цифр числа \(7 + 4 + 7 = 18\) ділиться на \(9\).
Аналогічно проводяться міркування при визначенні подільності чисел на число \(3\).
 
Ознака подільності на \(3\) звучить так: 
натуральне число ділиться на \(3\) тоді і тільки тоді, коли ділиться на \(3\) сума його цифр.
Приклад:
Число \(71445\) ділиться на \(3\), т. я. сума цифр числа \(7 + 1 + 4 + 4 + 5 = 21\) ділиться на \(3\).
Джерела:
И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович  Математика. 6 класс.  Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2009.